N관련사이클

등온과정에서 기체가 흡수하는 열량 공식은 다음과 같습니다.

• m = 1 [kg] (동작물질의 질량)
• R = 287[J/kg·K] (기체상수)
• T_H = 600 + 273.15 = 873.15[K] (고열원의 절대온도)
• P_{start} = 400[kPa·a] (최고압력 $P_3$)

• P_{end} = 200[kPa·a] (등온팽창 후 압력 $P_4$)

공식에 값을 대입하여 1회 사이클 동안 흡수하는 열량을 구합니다.

문제에서 요구하는 단위는 kW입니다. kW는 초당 공급되는 열량(kJ/s)과 같은 단위이므로, 분당 사이클 수를 초당 사이클 수로 바꾸어 직접 동률을 계산할 수 있습니다. (1시간 동안의 총량을 구한 뒤 3600초로 나누어도 결과는 같습니다.)

• 초당 사이클 수: 분당 60사이클이므로, 초당 1사이클 회전합니다.

따라서 초당 수열되는 열량(kW)은 다음과 같습니다.

카르노 사이클은 두 개의 등온 과정과 두 개의 단열 과정으로 이루어져 있습니다.

• 단열 과정(단열압축, 단열팽창)에서는 외부와의 열교환이 없으므로 엔트로피 변화가 0입니다 (ΔS = 0).
• 따라서 문제에서 주어진 “엔트로피 변화량이 100J/K으로 일정하다”는 조건은 등온 과정(등온팽창 시 흡열, 등온압축 시 방열)에서의 엔트로피 변화 크기(ΔS)가 100J/K임을 의미합니다.

고온열원(T_H=600K)으로부터 공급받은 열량(Q_H)은 등온팽창 과정에서 발생하며, 공식은 다음과 같습니다.

사이클이 한 일량(W)은 공급받은 열량(Q_H)에서 저온열원(T_L = 400K)으로 방출한 열량(Q_L)을 뺀 값입니다.

1.방출한열량 (Q_L) 계산:

2.한일량 (W) 계산:

단열 과정(Adiabatic process)은 계와 외부 사이에 열의 출입이 차단된 과정입니다. 가역 단열 과정(등엔트로피 과정)을 따르는 카르노 사이클에서 단열팽창과정 중 엔트로피 변화량은 0[J/K]입니다.

카르노 사이클의 열효율은 작동 유체와 관계없이 오직 고온열원(T_H)과 저온열원(T_L)의 절대온도만으로 결정됩니다.

공식:

대입 및 계산:

문제에서 공급되는 증기는 압력 2.47[MPa], 온도 220[°C]의 과열증기라고 주어졌습니다.

제시된 증기표에서 2.47[MPa]일 때의 건포화증기 엔탈피는 2800.18[kJ/kg]입니다.

터빈 출구의 압력은 50[kPa]= 0.05[MPa]이고, 이때의 건도(x)는 0.93인 습증기 상태입니다.

증기표에서 0.05[MPa]일 때:

• 포화수 엔탈피 (h_f) = 338.19[kJ/kg]
• 건포화증기 엔탈피 (h_g) = 2642.4[kJ/kg]

습증기의 엔탈피 공식을 이용해 계산합니다.

터빈 내부에서 일어나는 엔탈피 낙차(∆h)는 다음과 같습니다.

공급되는 증기 유량(G)은 $20[ton/h]이므로, 이를 초당 질량 유량([kg/s]) 단위로 변환합니다.

최종적으로 터빈의 출력($P$)을 구합니다. ($\text{kW} = \text{kJ/s}$)

먼저 터빈 입구 상태(상태 2)와 이론적 터빈 출구 상태(상태 3)의 값을 구해야 합니다.

1. 터빈입구 (상태 2: 8 MPa, 600°C 과열증기)

• h₂ = 3642.0[kJ/kg]
• s₂ = 7.0206[kJ/kgK]

2.이론적터빈출구 (상태 3: 100 kPa, 등엔트로피팽창 s₃ = s₂)

• 100[kPa] 포화증기표에서 s’=1.3026, s”=7.3589입니다.
• s₃=7.0206 이므로 s’ < s₃ < s” 상태, 즉 습증기
• 이론적 출구의 건도(x₃) 구하기:
  

3.이론적 출구 엔탈피(h₃) 구하기:

4.실제터빈출구엔탈피 (h₃’, 터빈효율 90% 반영)

• 터빈 효율 공식을 사용합니다:

문제 조건에서 ‘펌프 압축률은 무시한다’고 하였습니다. 이는 급수펌프의 일로 처리하겠다는 뜻입니다.

• 복수기에서 응축을 마치고 나온 상태(상태 4)는 100kPa의 포화수 상태입니다.
  

• 펌프의 일을 무시하므로 펌프 입구와 출구의 엔탈피는 같습니다.

• 펌프의 일을 무시하지 않는경우에는.

사이클의 효율은 보일러에서 공급된 총 열량(q_{in}) 분에 터빈이 만들어낸 실제 일(w_{net})의 비율입니다. (펌프 일은 무시하므로 터빈의 실제 일이 곧 사이클의 순수 일입니다.)

1.보일러공급열량 ($q_{in}$)

2.터빈의실제일 ($w_t$)

3.랭킨사이클효율 (η)

• 터빈 입구 엔탈피 ($h_1$): 3465[kJ/kg]
• 터빈 출구 엔탈피 ($h_2$): 2556[kJ/kg]
• 복수기 출구(급수) 엔탈피 ($h_3$): 135[kJ/kg]

문제에서 펌프 일을 무시한다고 했으므로, 보일러 입구 엔탈피($h_4$)는 급수 엔탈피($h_3$)와 같습니다.

• 보일러입구엔탈피 ($h_4$): $135[kJ/kg]

• 보일러 공급 열량 ($q_{in}$)
  보일러 입구에서 터빈 입구까지 가열하는 데 필요한 열량입니다.

• 터빈이한일 ($w_t$)
  터빈 내부에서 증기가 단열 팽창하며 만들어낸 일입니다. 펌프 일을 무시하므로 이 값이 곧 사이클의 순수 일($w_{net}$)이 됩니다.

• 과정 1 → 2: 등온 압축

• 과정 2 → 3: 등적 가열
  ($V_2 = V_3$, 온도가 $T_L$에서 $T_H = 1420[℃]로 상승)

• 과정 3 → 4: 등온 팽창

• 과정 4 → 1: 등적 냉각
  ($V_4 = V_1$, 온도가 $T_H$에서 $T_L = 20[℃]로 하강)

• 최저온도 : 20 + 273.15 = 293.15K
• 최고온도 : 1420 + 273.15 = 1,693.15K
• 압축비 (r): 

• 기체상수 (R): 0.287[kJ/kg K]
• 정적비열 (Cv): 0.718[kJ/kg K]

2 → 3 → 4 과정은 ‘등적 가열’과 ‘등온 팽창’이 연속적으로 일어나는 구간으로, 계 외부 및 재생기로부터 열이 유입(공급)되는 총량입니다.

• 2 → 3 (등적 가열) 공급 열량 ($q_{23}$):

• 3 → 4 (등온 팽창) 공급 열량 ($q_{34}$):등온 과정이므로 내부엔너지 변화가 없어 공급된 열량이 곧 한 일과 같습니다.

• 총 공급 열량 ($q_{in, total}$):

4 → 1 → 2 과정은 ‘등적 냉각’과 ‘등온 압축’이 일어나는 구간으로, 실제로는 계가 열을 방출하는 구간입니다. 문제에서 ‘공급된 열량’을 물었으므로 방출되는 열량을 계산하여 음수(-) 값으로 표현하거나 방출량으로 정의합니다.

• 4 → 1 (등적 냉각) 방출 열량 ($q_{41}$):

• 1 → 2 (등온 압축) 방출 열량 ($q_{12}$):

• 총 공급 열량 (방출 총량):

순일량($w_{net}$)은 사이클 내부에서 주고받은 총 열량의 대수합($q_{in} – |q_{out}|$)과 같습니다.

이때 등적 과정의 열량($q_{23}$과 $q_{41}$)은 크기가 같고 부호가 반대이므로 서로 상쇄됩니다(재생기 내부 열교환). 따라서 두 등온 과정의 차이만 남습니다.

이상적인 스털링 사이클은 등적 과정의 열($q_{23} = |q_{41}|$)이 재생기(Regenerator)를 통해 100% 회수되므로, 외부에서 순수하게 공급해야 하는 열량은 등온 팽창 시의 열량($q_{34}$)뿐입니다.

따라서 이론 열효율은 카르노 사이클의 효율 공식과 완벽히 일치합니다.

이를 백분율로 나타내면 다음과 같습니다.

정적과정(부피가 일정한 과정)에서 기체가 흡수하는 열량(Q) 공식은 다음과 같습니다.

• m = 1[kg]
• Q = 700[kJ]
• \Delta T = 100 – 30 = 70[°C] = 70 K

공식에 대입하여 정적비열(C_v)을 구합니다.

일반기체상수(R = 8.3145 \text{ kJ/kmol}\cdot\text{K}$)와 문제에서 주어진 분자량(M = 2)을 이용해 이 기체의 고유 기체상수(R)를 구합니다.

이상기체의 정압비열과 정적비열의 관계식(마이어의 관계식)은 다음과 같습니다.

위에서 구한 값들을 대입합니다.

• 공기의 질량 (m): 1 kg
• 처음 상태 (P₁, V₁): 100kPa=100,000Pa, 1m³
• 나중 체적 V₂: 0.5 m³
• 기체상수 (R): 287J/kg K
• 정적비열 (C_v): 718J/kg K
• 폴리트로픽 지수 (n): 1.3

1) 처음 온도 (T₁) 구하기

밀폐계 이상기체 상태방정식(P₁V₁ = mRT₁)을 사용하여 최초의 절대온도를 구합니다.

2) 최종 온도 (T₂) 구하기

폴리트로픽 과정에서의 온도-체적 관계식 에 대입합니다.

• 섭씨온도로 환산 시:

3) 내부에너지 변화량 (∆U) 구하기

내부에너지 변화량은 어떤 과정이든 관계없이 오직 온도 변화량에만 비례하므로 정적비열(C_v)을 사용해 계산합니다.

• 최종 온도 (T₂): 428.97K (섭씨 약 155.82[℃])

• 내부에너지변화량 (∆U): 57.83kJ}$ (또는 57,826J)