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A.10.4.유효전력과 무효전력 문제3

유효전력과 무효전력/유효전력과 무효전력 문제1/유효전력과 무효전력 문제2/유효전력과 무효전력 문제3
송전계통의 유효전력은 E 와 V 의 위상차에 관계되고, 무효전력은 송전계통의 전압강하에 관계됨을 설명하시오. (단, E : 송전단 전압, V : 수전단 전압)

모델 등가회로 및 페이저도

전압 방정식

\[\dot { E } = \dot { V} + \dot { I} (R+jX)\]

… (여기서, R≪X로 R무시하면)

복소 전력

\[\dot{I} =\frac{ E \angle\delta- V \angle0 } { jX}\]
\[P+jQ=VI^* =V \angle 0 ( \frac{E \angle – δ -V \angle 0} {-jX} )\]
\[= \frac{ EV \angle-δ – V^2} {-j X } \]\[= \frac{ EV \cos δ -jEV\sin δ – V^2} {-jX }\]
\[=\frac{ EV} {X } \sin δ +j \frac{ EV \cos δ -V^2} {X }\]
\[∴ 유효전력은P= \frac{ EV } {X } \sin δ 으로 \]\[유효전력은 상차각에 관계된다.\]

전압강하(ΔV)

\[Δ V = E-V = I(R\cos \delta+ X\sin \delta)\]\[ =\frac { P \cdot R + Q \cdot X} { V}\]

(여기서, R≪X로 R무시)

\[Δ V \backsimeq \frac{ Q \cdot X} {V}\]

∴ V와 R가 일정하다는 조건하에 ΔV∝Q

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A.10.3유효전력과 무효전력 문제2

유효전력과 무효전력/유효전력과 무효전력 문제1/유효전력과 무효전력 문제2/유효전력과 무효전력 문제3
345[kV], 1,000[MVA] 기준에서 임피던스가 (2+j50)[%]인 송전선의 수전단에 500[MW](역률 90%)의 조류가 흘렀을 경우, 이 송전선의 유효전력손실, 무효전력손실 및 이때의 송전단의 Y전압(상전압)과 △전압(선간전압)의 크기 및 송·수전단 간의 위상차(송·수전단 전압의 벡터도 포함)를 구하시오. 단, 수전단의 운전전압은 345[kV]라고 한다.

단위법으로 변환 (345[kV], 1,000[MVA] 기준)

\[V_r=1.0[pu]\]
\[Z_l =0.02+j0.5=0.5\angle 87.7°[pu]\]
\[S_r =0.5+j0.242[pu]\]
\[\dot{I}=\frac{P_r-jQ_r}{{\dot{V}^{\cdot }}_r}=0.5-j0.242\]

송·수전단 전압방정식

\[ \dot{V_s} =\dot{V_r} +\dot{I} (r+jx)\]
\[\dot{V_s} =1.0 +(0.5-j0.242) (0.02+j0.5)\] \[=1.131+j0.245=1.157 \angle12.23° [pu]\]

유효전력 및 무효전력 손실

\[P_L +jQ_L \]\[=I^2 \times(R+jX) =0.309 \times(0.02+j0.5) [pu]\]
\[Q_L =0.155 \times1,000 =155 [MVAR]\]
\[V_{sΔ} =1.157 \times 345 =399.165 [kV]\]

→선간전압

\[V _{sY} =1.157 \times 345/ \sqrt {3} =230.458[kV]\]

→상전압

실제값으로 환산

\[P _{L} =6.18 \times 10 ^{-3} \times 1,000=6.18[MW]\]
\[Q _{L} =0.155 \times 1,000=155”[MVAR]\]
\[V_{s Δ}=1.157 \times 345 =399.165 [kV]\]

→선간전압

\[V_{sY} =1.157 \times 345/ \sqrt { 3} =230.458 [kV]\]

→상전압

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A.10.2.유효전력과 무효전력 문제1

유효전력과 무효전력/유효전력과 무효전력 문제1/유효전력과 무효전력 문제2/유효전력과 무효전력 문제3
3상 계통에서 Y부하(한 상당 임피던스: 30+j40[Ω])와 
△부하(한 상당 임피 던스 60-j45[Ω])가 
병렬 연결된 부하에 2+j4[Ω]의 선로를 통해 전력을 공급하고 있다. 
전원측 전압은 207.85[V]이다. 
다음 물음에 답하여라.
1) 전원에서 공급하는 전류, 유효 및 무효전력?
2) 부하단 전압은?
3) Y부하 및 △부하 한상에 흐르는 전류?
4) Y부하, △부하에서 사용하는 전력 및 손실?

Δ→Y 변환

\[\frac{\left(60-j45\right)\left(60-j45\right)}{\left(60-j45\right)\times 3}\]\[=\frac{\left(60-j45\right)}{3}=20-j15\ \left[\Omega \right]\]

상당 부하저항 병렬 합성

\[Z_L=\frac{\left(30+j40\right)\left(20-j15\right)}{\left(30+j40\right)+\left(20-j15\right)}\]\[=22-j4\ \left[\Omega \right]\]

부하전류 계산

\[Z_T=Z_l+Z_L=2+j4+22-j4=24\left[\Omega \right]\]
\[I=\frac{V}{Z_l+Z_L}=\frac{120}{24}=5\ \left[A\right]\]

전원에서 공급하는 유효전력 및 무효전력

1)전원에서 공급하는 유효전력

\[P=3\times I^2R=3\times 5^2\times 24=1,800\left[W\right]\]

2)전원에서 공급하는 무효전력 : 0 [Var]

부하단 전압

\[V_s=V_r+IZ_l\]
\[V_r=V_s-IZ_l=120-\left(10+j20\right)\]
\[=110-j20=111.8\angle -10.3º \left[V\right]\]
\[부하단\ 선간전압=111.8\times \sqrt{3}=193.6\left[V\right]\]

Y부하 및 Δ부하 한상에 흐르는 전류

1)Y부하 한상에 인가된 전압 : 111.8[V], 한상 부하 임피던스 Yz=50[Ω]

\[한상에 흐르는 전류=\frac{111.8}{50}=2.24[A]\]

2)Δ부하 한상에 인가된 전압 : 193.6[V], 한상 부하임피던스 ZΔ=75[Ω]

\[한상에 흐르는 전류=\frac{193.6}{75}=2.58[A]\]

Y부하, Δ부하에서 사용하는 전력 및 손실

1)Y부하에서 사용하는 전력
=3×I²R=3×2.24²×30=450[W]

2) △부하에서 사용하는 전력
=3×I²R=3×2.58²×60=1,200[W]

3) 손실
=1,800-(450+1,2000)=150[W]

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A.9.2.과도현상 해석문제2

과도현상 해석/과도현상 해석문제1/과도현상 해석문제2
다음그림을 보고 시간응답i(t)를 구하여라. 단 초기조건은 Vc(0)=V0

1.KVL방정식

\[ R i(t) +v (t) =E \]

2. 전압에 대한 미분방정식으로 정리

\[ RC\frac{dv(t)} {dt} +v(t)=E … 충전 \]

3. 미분방정식의 해

1) 과도해

\[ RC \frac{dv(t)} {dt} +v(t)=0 \to \frac{dv(t)}{dt} + \frac{1}{RC} v(t)=0 … (1)식 \]
\[ 미분 방정식의 일반해 v_t (t) =A e^{st} 를 (1)식에 대입 \]
\[ \frac{ d (Ae^{st} )} { dt} + \frac{ 1}{RC } (Ae^{st} ) = 0 \to A \times s \times e^{st} + \frac{ A}{RC } \times e^{st} =0 \]
\[ A e^{st} ( s + \frac{ 1}{RC }) =0 , e^{st} \ne 0 이므로 ( s+ \frac{ 1}{ RC}) =0 \]
\[ s=-\frac{ 1}{RC } \]

2) 정상해

\[ v_s (t) = E \]\[ ( t \to ∞ 되면, 커패시터는 개방되어 \]\[모든 전압이 커패시터에 분압된다) \]

4. 전압 방정식

\[ v(t) =v_s (t) + v_t (t ) =E +A e^{- \frac{ 1}{RC }t } \]\[ \to 초기조건 v(0) =V_0 \]
\[ v(0) =E+A e^{-\frac{ 1} {RC }0 } =V_0 \to A =V_0 -E \]
\[ ∴ v(t) =E +(V_0 -E ) e^{- \frac{ 1} {RC }t } [V] \]

5. 전류 방정식

\[i(t)=C \frac{dv(t)} {dt} =\frac{(E-V _{0} )} {R} e ^{- \frac{1}{RC} t} [A] \]
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A.11.2.전압강하율과 전압변동률 문제

전압강하와 전압변동률/전압강하와 전압변동률 문제
용량 1000KVA, 22.9kV/380V인 변압기의 퍼센트 임피던스가 5%, X/R=7인경우 지상역율 80%의 전부하로 운전하는 변압기의 전압변동률을 구하시오

전압 변동률의 변형

\[e= \frac{V _{n0} -V _{n}} {V _{n}} \times 100\]\[= \frac{I(R\cos \theta +X\sin \theta )} {V _{n}} \times 100\]\[=\% R\cos \theta +\% X\sin \theta \]

R/X비 조건에 따른 %Z의 분리

\[\% Z=5\%\]
\[ \frac{X} {R} = \tan \alpha=7\]
\[\% R =\% Z \times\cos(\tan^-1 (7) ) =0.707 [\%]\]
\[\% X =\% Z \times\sin(\tan^-1 (7) )=4.95 [\% ]\]

전압 변동률

\[e=\%R\cos \theta +\%X\sin \theta \ \left[\%\right]\]
\[e=\left(0.707\times 0.8\right)+\left(4.95\times 0.6\right)=3.54\ \left[\%\right]\]
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